1^2+1^2=(√2)^2=2，然后再代入公式得出：
1^2+1^2+1^2=1^2+(√2)^2=（√3）^2。依次类推，这组公式便适合于所有维度的空间。但它揭示的永远都是在二维空间内两个相互垂直两边与第三边的关系。那么3条共顶点相互垂直的边所对应的底面，4条共顶点相互垂直的边所对应的围成的空间体体积关系如何呢，上组公式并没有揭示出来。笔者试着描述一下。
在三维空间内，a^2+b^2+c^2=r^2，不代表着三条棱与所对应底面的关系，那么，假设a、b、c边长为1（r代表三条线段所对应的底面积），那么不难算出r的面积为√3/2，套入原来的公式就不成立了。因为，1^2+1^2+1^2=3，这就于底面积的平方不相等了，√3/2的平方等于3/4，与上面给出的公式不相符。这说明上组公式，存在一定问题。（这里的r成为三条棱边所对应的底面）。
下面我们分析一下四维空间的例子。分析这个四维空间体，它由4个正三棱椎组成（读者可以自己去数），假设这个四维空间体外棱为1，那么其体积为1/√3（具体运算就是将填充这个四维空间体的4个正三棱椎体积之和相加，每个正三棱椎体积为√3/12也就是，乘以4个便得到总体积为√3/3=1/√3。（这里的r对应着这个四维空间体的体积）。
因此，上组公式并不能那么简单地进行表达，如果考虑对应的线、面、体的关系，那么要对上面那组公式进行重新确定。下面，根据笔者对此公式的理解和计算，将此公式展开来看
(1)a=r
(2)1^2+1^2=√2^2
(3)1^2+1^2+1^2=（√3/2）^2=3/4；而公式运算结果为3
(4)1^2+1^2+1^2+1^2=（1/√3）^2=1/3；而公式运算结果4
……..
比较以上公式，公式（2）结果乘以1，与最终结果相符；公式（3）结果乘以4，与最终运算结果相符；公式（4）乘以12，便与最终结果运算结果相符。那么，1、4、12属于什么数列呢，它们同属于an=2^(n－2)x2n，(条件是n>0)，这个数列，其中n是空间的维数度减1。所以上述公式，是否可以概括为：
a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+……+n^2=r^2x2^(n－2)x2n（其中r是实际线段所对应的线、面、体积的运算结果）。
是否是这样呢，有待于专家在五维以上空间进一步检验。
3轴对称性
对于爱因斯坦的四维空间，人们普遍认为空间有轴对称性，或是中心对称。譬如，倘若一个三维空间的人进入四维空间，并且按照适当的方式“旋转”一下再回到3维空间，那么他会被‘轴对称’一下（这在3维空间中当然是不可能实现的，除非运用三维版本的麦比乌斯带）。当然，由于没有人进入四维空间，所以这只是一个从二维空间类比而得的假设，无法进行验证。但是关于时间轴的观点以及时空错乱瞬间的现象与这是相符的。
从二维空间的一个图形是不能再二维空间进行对称的，但进入三维空间，就可以通过进行翻转回到二维空间时，就可以实现对称，因为在二维空间是不能进行翻转的，只能旋转或平移。因此我们可以推测三维物体进入了四维空间，再回到三维空间可能物体会被“轴对称”一下。
4四维研究
n维空间概念，在18世纪随着分析力学的发展而有所前进。在达朗贝尔.欧拉和拉格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的概念，达朗贝尔在《百科全书》关于维数的条目中提议把时间想象为第四维。在19世纪高于三维的几何学还是被拒绝的。麦比乌斯（bius1790－1868）在其《重心的计算》中指出，在三维空间中两个互为镜像的图形是不能重叠的，而在四维空间中却能叠合起来。但后来他又说：这样的四维空间难于想象，所以叠合是不可能的。这种情况的出现是由于人们把几何空间与自然空间完全等同看待的结果。以至直到1860年，库摩尔（r1810－1893）还嘲弄四维几何学。但是，随着数学家逐渐引进一些没有或很少有直接物理意义的概念，例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是真实现象的描述”的观念，逐渐走上纯观念的研究方式。虚数曾经是很令人费解的，因为它在自然界中没有实在性。把虚数作为直线上的一个定向距离，把复数当作平面上的一个点或向量，这种解释为后来的四元数，非欧几里得几何学，几何学中的复元素，n维几何学以及各种稀奇古怪的函数，超限数等的引进开了先河，摆脱直接为物理学服务这一观念迎来了n维几何学。
1844年格拉斯曼在四元数的启发下，作了更大的推广，发表《线性扩张》，1862年又将其修订为《扩张论》。他第一次涉及一般的n维几何的概念，他在1848年的一篇文章中说：
我的扩张的演算建立了空间理论的抽象基础，即它脱离了一切空间的直观，成为一个纯粹的数学的科学，只是在对（物理）空间作特殊应用时才构成几何学。
然而扩张演算中的定理并不单单是把几何结果翻译成抽象的语言，它们有非常一般的重要性，因为普通几何受（物理）空间的限制。格拉斯曼强调，几何学可以物理应用发展纯智力的研究。几何学从此开始割断了与物理学的联系而独自向前发展。
经过众多的学者的研究，遂于1850年以后，n维几何学逐渐被数学界接受。
以上是n维几何发展的曲折历程，以下是n维几何发展的一些具体过程。
首先，我们将点看作零维空间，直线看作一维空间，平面看作二维空间，并观察以下公设：
属于一条直线的两个点确定这条直线。1.1
属于一条直线的两个平面确定这一条直线。（比较这个公设和公设1.1）。1.2
属于同一个点的两条直线也属于同一个平面。（公设1.2的推论）1.3（也可能属于两个相交平面）
属于同一个平面的两条不平行直线，也属于同一个点。1.4
可以推断出：
1.具有相同维数的两个空间，在某些条件下，确定另一个高一维的空间。例如：两个点（我们将它们看作两个零维空间）确定一条直线（一维空间）。属于同一个点（规定的条件）的两条直线（两个一维空间）也属于同一个平面（二维空间）。
2.具有相同维数的两个空间，在某些条件下，也可以确定一个低一维的空间。例如：两个平面（两个二维空间）确定一条属于它们的直线（一维空间）。属于同一平面（限定的条件）的两条共存直线（两个一维空间）确定一个点（零维空间）。
3.结论2没有包括这一事实，即两个平面可以确定一个高一维的空间。它只假定它们确定一条直线，这是比平面低一维的空间。这就留下了一个把我们的思想引申到高维空间的缺口。这个缺口的消除可在推论1.3“属于同一个点的两条直线也属于同一个平面”中，用几何元素直线、平面和三维空间依次的代替几何元素点、直线和平面来达到。
下面的推论是替换的结果。属于同一条直线的两个平面也属于同一个三维空间。
有了这个新的推论，我们就把与其他几何元素直接对应的几何元素——三维空间也包括了。
下一步是把对偶原理应用于这一推理，并从这些新引申的推论中得到一些固有的结论。在对偶原理将通过几何元素——平面和空间的位置交换而被应用。这时我们得到下述推论：
属于同一条直线且属于同一个四维空间的两个三维空间也属于同一个平面。1.5
从推论1.5我们可以得到下述公设：
属于一个平面的两个共存的三维空间确定这一个平面。1.6
在上述1.5和1.6的基础上，可以提出下面的看法：
1.四维空间的几何条件是很明显的，因为维数相同的两个已知空间，只能共存于比它们高一维的空间里。例如：两条不同的共存直线（一维）位于一个平面内（二维）；两个不同的共存平面(二维)（沿一直线共存）位于一个三维空间里；两个不同的共存三维空间（沿一个平面共存）位于一个四维空间里。
2.在几何上被看作是不属于同一直线而相交于一点的两个平面，属于不同的各别的三维空间。