研究
四维空间的概念也可以通过解析几何的手段来研究。在那里我们可以利用代数方程来表示几何概念。为了利用这个手段进行观察以导致对四维空间的理解，我们来研究三维空间体系中的三个几何元素——点、直线和平面的方程。利用笛卡尔系统表示，我们可以写出：
点的方程：ax+b=0（坐标系：直线上的一个点）。
直线的方程：ax+by+c=0（坐标系：平面上的两条正交直线）。
平面的方程：ax+by+cz+d=0(坐标系：三维空间的三个互相垂直的平面)。
从上面的研究我们可以看出：
所表示的每一个几何元素（或空间）的方程中的变量数目，等于这个空间的维数加1。
坐标系中的几何元素与被表示的几何空间的几何元素的维数相同。
在这个坐标系中，几何元素的数目等于被表示的空间的维数加1。在坐标系中，几何元素的这个数目是最低要求。
用来表示几何元素的坐标系，位于比它所含有的几何元素高一维的空间里。
根据上述观察，我们可以写出三维空间的下述方程。应当注意：这个方程有四个变量（x、y、z、u）。
ax+by+cz+du+e=0
根据这公式我们可以断定：
1.这个坐标系的几何元素有三维，即它们是三维空间。
2.在这个坐标系中有四个三维空间。
3.这个坐标系位于一个四维空间里。
我们对于四维空间乃至更高空间的研究，不是通过实验总结的方式，在现实中我们很难发现并推导出它们的一般规律，对于这些问题，我们可以采取一种新的研究方式。即：纯概念的研究。通过这种方式，我们可以容易的推导出这些很重要但在现实中不易想象的新内容。
如果一个3维空间的东西，当他的密度为负值时，是否会变成4维空间的事物呢？”
“四维时空，正宗的维数研究方法通常离不开人存在原理。譬如讲，如果空间是两维的，则两维动物则不能正常消化。如果空间是四维以上，则世界就会精彩得多。如果我们是四维空间的动物，则彭加莱关于三维球的猜想则不应该是世纪难题。可惜多于三维的空间使万有引力和静电力随距离的变化比三维中更剧烈，使得小至原子核的电子，大至太阳系中的行星轨道不再稳定，很快就以旋涡的方式向远处飞离或者撞到中心上。
许多人不能接受人存在原理，认为他和科学传统相违背。科学的方法是从第一原理出发，把万物甚至观察者全推出来。人存在原理却是从观察者存在的条件把宇宙推出来，他们正好处于相反的两极。
霍金认为宇宙的边界条件是他没有边界。用卡鲁查－克莱因模型论述，时空本是高维的，而我们之所以感到它是四维的，那是因为额外维都被卷去到我们无法观察到的小尺寸去，比如普朗克尺度。正如一根头发的表面虽然是二维的，但是粗看之下，只剩下头发长度那一维一样。人们称感觉到的空间为外空间，觉察不到的为内空间。时间是外空间中的一维。
在用量子宇宙学研究时空维数的起源时，必须避免人为的调节卡鲁查－克莱因的总维数，以得到需要的外空间维数。因为人为的调节会陷入逻辑循环，这种做法是你想得到多少维的空间都能如愿。因此，可用的卡鲁查－克莱因模型，其总维数必须是由第一原理推出的。十一维的超引力模型便由第一原理推出的。自然界也许存在一种所谓的超对称。
1980年弗隆德和鲁宾发现了一个十一维超引力的非常美丽的宇宙模型，其内空间是七维球，外空间是四维球。但在经典的框架中，人们无法证明不存在具有其他维数的外时空的解。
在量子宇宙学中，瞬子是宇宙创世的籽。瞬子是爱因斯坦方程和其他场方程的解，其中时间和空间坐标不能区分。十一维超引力的创生宇宙的瞬子必须是四维球和七维球空间两个因子空间的乘积。时间若包围在四维中，四维时空随后便展开演化成我们生活中的并感觉到四维的宏观宇宙，否则外时空便是七维的。
在带电荷的黑洞创生场景中，宇宙波函数要使用正确的表象，才能算出创生的概率。因为规则瞬子是非常稀罕的，所以研究一般黑洞的创生，必须引进约束引力的概念。找到正确表象不仅对于带电荷而且对于旋转黑洞的波函数至关重要。
从同一瞬子出发，在选择正确的表象后，时间在四维球中的创生概率远远大于时间在七维流形中的概率。因此，在量子宇宙学中证明了外时空必须是四维的。
7物理四维
在数学上有各种多维空间，但目前为止，我们认识的物理世界只是四维，即三维空间加一维时间。现代微观物理学提到的高维空间是另一层意思，只有数学意义。
四维时空是构成真实世界的最低维度，我们的世界恰好是四维，至于高维真实空间，我们还无法感知。我说过一个例子，一把尺子在三维空间里（不含时间）转动，其长度不变，但旋转它时，它的各坐标值均发生了变化，且坐标之间是有联系的。四维时空的意义就是时间是第四维坐标，它与空间坐标是有联系的，也就是说时空是统一的，不可分割的整体，它们是一种“此消彼长”的关系。
四维时空不仅限于此，由质能关系知，质量和能量实际是一回事，质量（或能量）并不是独立的，而是与运动状态相关的，比如速度越大，质量越大。在四维时空里，质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量，动量是描述物质运动的量，因此质量与运动状态有关就是理所当然的了。在四维时空里，动量和能量实现了统一，称为能量动量四矢。另外在四维时空里还定义了四维速度，四维加速度，四维力，电磁场方程组的四维形式等。值得一提的是，电磁场方程组的四维形式更加完美，完全统一了电和磁，电场和磁场用一个统一的电磁场张量来描述。四维时空的物理定律比三维定律要完美的多，这说明我们的世界的确是四维的。可以说至少它比牛顿力学要完美的多。至少由它的完美性，我们不能对它妄加怀疑。
在狭义相对论中，时间与空间构成了一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成了一个不可分割的整体——四维动量。这说明自然界一些看似毫不相干的量之间可能存在深刻的联系。在今后论及广义相对论时我们还会看到，时空与能量动量四矢之间也存在着深刻的联系。
从二维到三维的类比
《彼此完美镶嵌的的蜥蜴》出自艺术家埃舍尔之手。不难理解这些二维动物们的世界只有长与宽而没有高。怎样让他们认知三维图形呢？右图给出了一种方法：让三维图形（图中是正四面体）穿过这个二维平面，利用图形在平面上的投影使得蜥蜴认知这个图形。类比到我们对四维空间的思考，是否能看出些端倪？
首先假设一张没有厚度的纸（只拥有“长”、“宽”），代表一个二维的空间，也就是平面；用笔在上面画上一个圈和一个点，并假设圈和点可以在平面（纸）上移动（前后左右）。当然，点不可以穿透圈，此时圈对点拥有物理上的约束力。
然而，若将数张乃至数十张纸叠在一起时，原本的纸与后来的纸便组成了一个三维空间（同时拥有“长”、“宽”、“高”）；这样一来，原本处于二维的圈和点就具有了三维空间中的移动能力，即：前后左右上下。显然，圈对点的约束也就失去了。
从这个比喻中可以看出，二维前往三维的旅途中，一些物体之间的某些相互作用或许会消失；而类推至人类身上，这将是灾难性的后果。试想如果血管失去了对红细胞的约束，人类在前往四维空间的旅途中瞬间便会死于失血过多（当然，氧气也可以随意进出人体，或许并不需要血液——虽然有没有氧气还难说），因此从理论上来讲，前往四维乃至更高维的旅行是行不通的。具体维数
零维空间：没有长宽高，单纯的一个点，如奇点。
一维空间：一个数字参数(x)，一条有原点的直线数轴；
二维空间：两个数字参数(x,y)，一个垂直坐标系的平面；
三维空间：三个数字参数(x,y,z)，空间右手直角坐标系的立体空间；
四维空间：数学上四个数字参数(x,y,z,t)，在空间右手直角坐标系中加第四条轴线，与另外三条两两垂直的超立方体空间（参考超正方体，维度_数学漫步_3_四维空间）；物理上大多数都是指爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的“四维时空”概念。