当变化量很微小时，就近似看成dy。</p>
差分的概念还是比较初等的，高中就应该接触不少了。</p>
至于变分就相对复杂一些了。</p>
它算是无限维空间上的微分，后世也称之为Frechet微分。</p>
这玩意儿其实就是微分在无限维空间的照搬...咳咳，推广。</p>
Frechet微分作用于泛函的时候，就叫变分。</p>
所谓泛函呢。</p>
是将函数空间（无限维空间）映射到数域，就是把一个函数映射成一个数。</p>
打个比方。</p>
从A点到B点有无数条路径，每一条路径都是一个函数吧？</p>
这无数条路径，每一条函数...也就是路径的长度都是一个数，对吧？</p>
那你从这无数个路径当中选一个路径最短或者最长的，这就是求泛函的极值问题。</p>
函数空间的自变量我们称为宗量（自变函数），当宗量变化了一点点而导致了泛函值变化了多少，这其实就是变分。</p>
非常简单，也非常好理解。</p>
在眼下这个时代。</p>
变分问题的数值近似解法有两类。</p>
一类是在能量表达式中用差商代替微商，因而得到差分的形式。</p>
这也就是给予变分原理的差分格式的一种类型，首见于欧拉，后见于柯朗，弗里德里希，来万（不是踢足球的那个）等人。</p>
另一类近似解法是黎兹-加辽金方法，即把变分问题限制在限维子空间内求解。</p>
随后徐云顿了顿，组织了一番语言，说道：</p>
“华教授，您既然对这方面有所了解，那我就直接说下去了。”</p>
“在目前的两种变分方式中，第一类变分问题的数值近似解法相对效率较低，长期以来没有得到太大的重视。”</p>
“而第二类类方法曾被广泛采用，因为它的特点比较鲜明——能够较好地保持问题特性。”</p>
“不过它的缺点是在复杂系数的情况下比较困难，不够通用灵活。”</p>
“虽在理论上比较完整，但在具体情况下收敛条件的验证很难落实。”</p>
“如今随着计算要求的提高，第二种方法也逐渐开始变得低效了起来，甚至可以说有些滞后了。”</p>
“是啊。”</p>
听到徐云这番话。</p>
华罗庚脸上露出了一丝感慨，微微叹了口气，说道：</p>
“小韩，你说的没错，目前变分问题的数值近似解法确实比较复杂。”</p>
“所以如今为了追求足够高的精度，我们大多都只能走微分途径——其实包括国外也是如此。”</p>
“长期以往，我们的计算效率受到了很大影响，大家的负反馈....说实话还是不少的。”</p>
华罗庚说完。</p>
一旁的冯康、陈景润乃至于敏也都跟着点了点头。</p>
正如华罗庚所说。</p>
目前几乎所有守恒原理或变分原理的问题，国内外几乎都使用的是微分途径。</p>
一般说来。</p>
微分途径的优点是通用，简便，有时可以达到较高的精度。</p>
缺点则是容易陷于盲目，物理数学特性保持较差.。</p>
例如自伴问题差分化的时候。</p>
如未经特殊的考虑，则离散矩阵往往不对称，从而导致解的失真和解算的困难.。</p>
在对于复杂的内外边界条件、不规则的系数和几何形状、不规则的网格、解的不规则性、奇异性间断性等情况下处理比较困难，也不容易统一。</p>
奈何变分方法实在是太拉胯了，业界里头只能暂时使用老掉牙的微分途径。</p>
然而令华罗庚有些意外的是。</p>
徐云接下来并没有顺着他的话进行表态，而是抛出了另一个问题：</p>
“既然如此....华教授，不知道您是否考虑过优化变分问题的数值近似解法呢？”</p>